Можете считать меня прохвостом, но я снова пишу про хвост. Кто про что, а я …. А я после недолгих поисков обнаружил, что то, что колебания цены на рынке прекрасно описываются фракталами, был известен математикам еще (по крайней мере) несколько десятилетий назад. Почему этот замечательный факт упорно игнорируют экономисты – загадка. У меня, конечно, версия есть, но в своих постах я стараюсь обходиться без оскорблений.
Ранее тут, здесь и еще туточки я писал про теоретическое распределение колебаний цены. Краткое содержание предыдущих серий. Я утверждал, что распределение колебаний цены описывается формулой вида:

Но в приведенной там теории остался нерешенным один вопрос: чему равно значение используемого там параметра? Тогда я высказал предположение, что значение равно 1.5. Должен публично признать свое ошибку. Сегодня начинаю новую короткую серию заметок на эту тему. Начну с теоретического обоснования значения этого параметра. Для тех, кому скорее хочется узнать результат, сообщаю сразу:

Осведомленные люди сразу увидят в этой величине знаменитое “золотое сечение». А теперь кратко о том, как я к такому результату пришел. Для этого мне понадобилось связать исследуемые распределения с еще одной интересной моделью – с «цветными» («цветовыми», «окрашенными») шумами. Так принято называть шумы со степенной зависимостью мощности от частоты. Самый известный из них «белый» шум имеет равномерную частотную характеристику. Сразу должен отметить две очень важные вещи. Первая: цветные шумы – это лишь удобная математическая модель, никогда в чистом виде в природе не реализующаяся. Вторая: в общем случае эти шумы однозначно с рассматриваемыми распределениями не связаны (например, белый шум может быть реализован при любом распределении).
Итак, нужно каким-то образом задать однозначное соответствие между параметрами двух моделей. Раз уж речь идет о частотных характеристиках, то нужно взять таковую для распределения колебаний цены. Она задается нехитрой формулой (если верить преобразованию Фурье) exp(-f^p). Ее нужно аппроксимировать степенной зависимостью. Естественно, это невозможно сделать однозначно. Но если из всех равно-спорных способов взять простейший, то показатель степени будет равен –р.
Теперь заходим с другой стороны. Будем считать колебания цены цветным шумом (на самом деле это не совсем так, но подробнее об этом в другой раз). Для нашей задачи нам удобнее использовать не мощность (как обычно делается для цветных шумов), а амплитуду. В рамках принятого предположения зависимость амплитуды от частоты описывается степенным законом. Интересующее нас распределение колебаний цены является результатом суммы этих «шумов». При суммировании (интегрировании) показатель степени меняется на единицу. В итоге распределению с параметром р ставим в соответствие шум с зависимостью амплитуды от частоты с показателем –р+1.
Вот теперь (наконец-то) можно получить искомую теоретическую оценку. Для этого оценим изменение амплитуды колебаний при изменении частоты (периода) двумя способами. С точки зрения цветного шума показатель степени равен –р+1, а с точки зрения рассматриваемых распределений -1/р. Приравниваем эти два значения друг другу, решаем полученное уравнение, - получаем вышеупомянутый результат.
Продолжение следует

Tags: методы